Step 5: Come funziona? Il principio fisico e matematico del compasso di proporzione. (2/2)

Continuiamo con questo post a spiegare ulteriori calcoli che può effettuare il compasso di proporzione.

2. Scalare un disegno (maggiore o minore): Per ottenere questo risultato abbiamo bisogno del compasso di proporzione e di un compasso classico. Se vogliamo diminuire la scala di una pianta architettonica dobbiamo avere un'altra scala di riferimento per impostare tutto il calcolo successivo. La nostra scala di riferimento è data dalla retta FG. Prendiamo dunque, con un compasso normale, la distanza della retta AB e la riportiamo sul compasso di proporzione ponendo una punta nel centro dello strumento e facendo cadere l'altra lungo il braccio, mettiamo che il nostro cada sul numero 60; prendiamo a questo punto la distanza della retta FG con il compasso classico e riportiamo questa distanza all'altezza del numero 60, tenendo il compasso perpendicolare alla linea immaginaria che passa per il centro del compasso; a questo punto non dovremmo più muovere il compasso di proporzione che farà da riferimento per le misure successive; per completare la scalatura della piantina architettonica dovremmo prendere la misura del tratto successivo con il compasso, riportarlo sul braccio del compasso di proporzione e misurare la distanza perpendicolare alla linea immaginaria, poi riportare questa distanza sul disegno in scala; ripetere infine l'operazione finchè la piantina non sarà completamente ricostruita in scala diversa.

3. Calcolo della radice quadrata di numeri mediocri: Il compasso di proporzione può risolvere anche le radici quadrate di numeri piccoli, ovvero intorno al 100, medi, intorno al 5000, e grandi, intorno al 50000.

In questo testo spieghiamo la risoluzione delle radici di numeri mediocri.

Per la risoluzione sfrutteremo due delle linee incise sul compasso di proporzione: la linea aritmetica e la linea geometrica. Il passo preliminare per eseguire il calcolo è ''impostare'' il compasso di proporzione proseguendo in questo modo: prendere la distanza di 40 punti in verticale sulla linea aritmetica, poi riportare questa distanza all'altezza del numero 16 della linea geometrica e aprire il compasso di proporzione secondo la distanza data dalla prima misurazione.

Prendiamo dunque un numero nell'ordine del 1000 di cui vogliamo trovare la radice, sia esso 4630, togliamo a quest'ultimo le due cifre finali, rimane così il numero 46; troviamo il numero 46 sulla scala geometrica, misuriamo il passo tra i due bracci del compasso di proporzione in quell'altezza e riportiamo questa distanza verticalmente, sulla linea aritmetica; a questo punto troveremmo il numero 68 che è la radice più prossima a quella del numero che stiamo cercando.

Dobbiamo tenere conto però di alcuni dettagli, infatti se se due cifre che si tolgono superano il 50 bisogna aggiungere al numero che resta 1 > a 3483, tolte le ultime due cifre, dato che superano il 50, il numero a cui dovremmo fare riferimento è 35 e non 34.

Infine, se il numero che ci rimane, una volta tolte le ultime due cifre, dovesse risultare maggiore di 50 si dovrà operare con la sua metà > con 8432 non utilizzeremo il numero 84, bensì il 42; quest'ultima accortezza è presa per il semplice motivo che la linea geometrica non si estende oltre il numero 50.

Le operazioni possibili con il compasso di proporzione sono ancora tantissime e variano molto il loro utilizzo, basti pensare che con questo strumento si potesse calcolare anche il cambio valuta e la regola dei terzi per la proporzione aurea!

Link utili:

https://linux.studenti.polito.it/static_resources/liberliber/biblioteca/g/galilei/le_operazioni_del_compasso_geometrico_e_militare/html/le_ope_a.htm

Step 5: Come funziona? Il principio fisico e matematico del compasso di proporzione. (1/2)

Il compasso di proporzione, non essendo uno strumento elettronico, ha un principio semplice di funzionamento: il compasso ha in alto un perno, attorno al quale si possono muovere i due bracci. Lungo questi due bracci sono incise diverse linee che sono quelle che permetteranno la risoluzione grafica dei nostri problemi.

Come abbiamo già detto in precedenza, può eseguire numerosi calcoli (quasi quaranta!); oggi andremmo a spiegarne alcuni.

Per facilitare la comprensione dei metodi utilizzeremo degli esempi.

1. Divisione di una retta in parti uguali: Per questo calcolo serve il compasso di proporzione e un compasso classico. Se vogliamo dividere la retta in 5 parti uguali dobbiamo prendere due numeri, purchè uno sia il quintuplo dell'altro, siano 100 e 20; una volta che abbiamo questi numeri prendiamo, con il compasso classico, la lunghezza totale della retta e poniamo questa distanza all'interno del compasso di proporzione all'altezza del segno 100, mantenendolo perpendicolare ad una retta immaginaria che passa per il centro del nostro strumento (fig.1); una volta fissata l'apertura del compasso proporzionale, prendiamo il compasso classico e lo chiudiamo fino ad arrivare alla distanza perpendicolare (alla retta immaginaria, n.d.a.) del segno del numero 20 (fig.2); abbiamo trovato così la distanza che divide perfettamente la retta in 5 parti uguali.

Nota: Sia tenuto presente che la retta che dobbiamo dividere non deve essere più lunga dell'apertura possibile al compasso di proporzione, perchè, in caso contrario andremmo a perdere in precisione.

 

Link di riferimento:

https://linux.studenti.polito.it/static_resources/liberliber/biblioteca/g/galilei/le_operazioni_del_compasso_geometrico_e_militare/html/le_ope_a.htm

 Step 4: la scienza. (2/2)

Se nel primo post riguardante la matematica applicata abbiamo parlato di in quali ambiti si utilizza e cosa c'entra col nostro compasso di proporzione, in questo post faremo un breve excursus sulla storia di questa affascinante scienza. 

La matematica nasce in Oriente e tutt'ora molti termini del linguaggio matematico provengono dalla lingua araba; inoltre la moderna notazione numerica è di origine indiana. Tutta l'area dall'India al Mediterraneo è stata per millenni percorsa da vie commerciali e interessata da scambi non solo di tipo commerciale, ma anche culturale.

La scienza e la matematica moderna sono nate nel Seicento e da allora si sono sviluppate in maniera costante fino ad influenzare il mondo e farlo arrivare a noi così come lo conosciamo oggi. Usualmente, si pongono le basi nella matematica greca e si fanno risalire al periodo aureo, VI-III sec. a.C..

Ad oggi la matematica è una scienza unitaria, che non si differenzia in base all'area geografica; questo concetto per noi potrebbe risultare normale, ma fino a non molto tempo fa esistevano tradizioni matematiche autonome: come la matematica cinese, che si è sviluppata autonomamente per duemila anni, superando quella Europea del tempo. Nel confronto troviamo alcune peculiarità, ma anche alcune distinzioni dovute alla cultura stessa.

In tempi più recenti si è considerata la matematica come il linguaggio di una scienza essenzialmente empirica. In tale visione, la matematica è solo uno strumento linguistico. Conseguentemente, la sua storia appare lineare, in un certo senso dipendente dalle storie delle altre scienze (della fisica, della tecnica, della filosofia) in quanto storia di uno strumento che si adegua alle esigenze di altre discipline, anziché un settore di studi dal cui interno scaturiscono teorie e concetti autonomi. E ancora una volta, così intesa, la matematica risulta uno strumento monotono nella sua prevedibilità, appare ovvia, logica e “naturale”.

Link utili:

https://www.treccani.it/enciclopedia/storia-della-matematica_%28Enciclopedia-della-Matematica%29/

Step 4: la scienza. (1/2)

La scienza a cui appartiene il compasso di proporzione è la matematica, in particolare quella applicata.

Ma di cosa tratta la matematica applicata? Lo spieghiamo qui di seguito.

La matematica applicata, per quanto sembri strano, non può rientrare nella comune definizione di matematica, perchè per quanto utilizzi le sue stesse regole di base, la sua applicazione dipende dal campo in cui ci troviamo.

Le problematiche tipiche della matematica applicata sono: la modellizzazione di fenomeni fisici, chimici e biomedici; la progettazione di elementi, strutture e sistemi; la pianificazione e la direzione di strategie di mercato e finanziarie; la comprensione e l’ottimizzazione dei processi di produzione. 

Come possiamo notare quindi, la matematica applicata si utilizza in diversi campi e il nostro compasso di proporzione si ritrova in questa scienza proprio perchè risolveva problemi complessi di diversi ambiti attraverso una risoluzione grafica.

link utili:

https://www.treccani.it/enciclopedia/il-rinascimento-le-arti-matematiche_%28Storia-della-Scienza%29/

https://www.treccani.it/enciclopedia/matematica/

 Step 3: Glossario

Propongo sotto alcuni termini che potrebbero tornare utili durante lo studio del compasso di proporzione; troviamo riferimenti sia a parti specifiche dell'oggetto, sia a termini che vengono usati nella descrizione del compasso nella sua interezza.

Compasso geometrico et militare: nome dato da Galileo Galilei al compasso di proporzione quando lo perfezionò nel 1500 ca.

Goniometro: strumento per la misurazione di angoli.

Regolo calcolatore: strumento che esegue operazioni complesse riconducendole ad operazioni logaritmiche, che poi vengono risolte in modo grafico.

Nocella: disco rotondo che fa da perno ai due bracci.

Zanca: cursore che viene infilato in uno dei bracci del compasso e che permette sia di tenere lo strumento verticale, sia di allungare il braccio nel quale è infilato.

Scale proporzionali: la misura presa nella realtà è direttamente proporzionale alla rappresentazione in scala. La caratteristica è pertanto la continua proporzione nei rapporti se moltiplicati entrambi per una costante.

Balistica: la scienza che studia il moto dei proiettili.

Calibro: lo strumento che misura il diametro dei fori

Step 2: il compasso di proporzione.

fronte

retro

Qui possiamo vedere la foto del fronte e retro del compasso di proporzione.

credit to: Di Fgrosshans - Opera propria, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=2997806

Step 1: Il compasso di proporzione, la storia.

Presentiamo nel primo post lo strumento che ha dato nome al blog: il compasso di proporzione.

Il nostro strumento, utile per scopi edili e militari, si trova a metà strada tra il goniometro e il regolo calcolatore: la sua funzione è quella di permettere a chi lo utilizza di misurare distanze, altezze, profondità e pendenze; calcolare la balistica dei tiri di artiglieria e ridisegnare una mappa in scala differente. Insomma, un oggetto multifunzionale di altissima ingegneria d'altri tempi.

Si hanno notizie di un antenato di questo compasso già prima del XVII secolo in Inghilterra, merito del matematico Thomas Hood, all'inizio del 1600, però, è Galileo Galilei a prendere in mano le sorti di questo strumento, che diventa più preciso e con scale universali; ne vengono prodotti in numerose quantità fino all'Ottocento, dove vedrà poi la fine per mano della sua obsolescenza.

Conosciuto e diffuso in tutto il mondo, il compasso di proporzione, nella lingua inglese si chiama "sector" mentre il nome ''proportional compass'' ha un significato diverso;  in spagnolo il nome dello strumento non ha le stesse sorti, può prendere infatti il nome di "compás de proporciones" o quello più specifico di "pantómetra".

Il termine "compasso di proporzione"  è formato da due parole: la prima ''compasso'', dal latino compassare, misurare col passo: ovvero misurare con meticolosa precisione; e da "proporzione", dal latino proportio -onis, ricavato dalla locuzione pro portione: secondo la proporzione.

L'etimologia della parola spiega, quindi, ciò che può fare il nostro oggetto: misurare con meticolosa precisione secondo la proporzione.